Question

定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时函数图象如图所示.

（Ⅰ）求函数在的表达式；
（Ⅱ）求方程的解；
（Ⅲ）是否存在常数的值，使得在上恒成立；若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

解析试题分析：（Ⅰ）由函数的图像可分两段求解：当，；当，.注意运用图像的对称性.故；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的解析式，分两种情况求出三角方程的解即可；（Ⅲ）先假设存在，然后找出使得在上恒成立的条件，由图像可得.
试题解析：（Ⅰ），     
且过，∵ ∴
当时     3分
而函数的图象关于直线对称，则即，              
              5分
（Ⅱ）当时，    
∴ 即
当时， ∴
∴方程的解集是       8分
（Ⅲ）存在. 假设存在,由条件得：在上恒成立
即，由图象可得： ∴      12分
考点：1.利用函数图像求函数解析式；2.解三角方程；3.利用函数图像处理函数不等式的恒成立问题