Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x₁、x₂∈[1，a]（a＞1），当x₁＞x₂时，都有f（x₂）＞f（x₁）＞0，则下列不等式不一定成立的是（　　）

• A、f（a）＞f（0）
• B、f（

  1+a

  2

  ）＞f（

  a

  ）
• C、f（

  1-3a

  1+a

  ）＜f（

  a-3

  1+a

  ）
• D、f（

  1-3a

  1+a

  ）＞f（-a）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可得，函数f（x）在[1，a]上单调递减，依次根据函数的单调性验证可知B、C、D都一定不成立．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x₁、x₂∈[1，a]（a＞1），当x₁＞x₂时，都有f（x₂）＞f（x₁）＞0，
∴f（x）在[1，a]上单调递减．
B，∵由基本不等式可知：

1+a

2

≥

a

，∴f（

1+a

2

）＞f（

a

）一定不成立；
C，∵

1-3a

1+a

-

a-3

1+a

=

1-3a-a+3

1+a

=

4-4a

1+a

＜0，∴f（

1-3a

1+a

）＞f（

a-3

1+a

），故命题一定不成立；
D，∵

3a-1

1+a

-a=

-(a-1)2

1+a

＜0，
∴f（

3a-1

1+a

）＞f（a）
∴-f（

3a-1

1+a

）＜-f（a）
∴由函数的奇偶性可得：f（

1-3a

1+a

）＜f（-a）
故命题一定不正确；
综上可得A不一定成立．
故选：A．

点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，单调性，属于基本知识的考查．