Question

5．已知α、β∈（0，π），tanα=$\frac{4}{3}$．
（1）求$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+cos2α}$的值；
（2）若sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）由题意求得sinα 和cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，可得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：（1）$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+cos2α}$=$\frac{2sinαcosα{-cos}^{2}α}{{2cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα-1}{2}$=$\frac{5}{6}$．
（2）∵tanα=$\frac{4}{3}$=$\frac{sinα}{cosα}$，α、β∈（0，π），sin²α+cos²α=1，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．
∵sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，∴cos（α+β）=±$\frac{12}{13}$．
若cos（α+β）=$\frac{12}{13}$，则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}•\frac{4}{5}$=$\frac{56}{65}$．
cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}•\frac{4}{5}$=-$\frac{36}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，两角差的余弦公式，属于基础题．