Question

17．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{5}{13}$，sin（β-$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{5}$，求sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）

Answer 1

分析 由已知角的范围和同角三角函数基本关系可得sin（α-$\frac{β}{2}$）和cos（β-$\frac{α}{2}$），整体代入sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）=sin[（α-$\frac{β}{2}$）+（β-$\frac{α}{2}$）]=sin（α-$\frac{β}{2}$）cos（β-$\frac{α}{2}$）+cos（α-$\frac{β}{2}$）sin（β-$\frac{α}{2}$），计算可得．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α-$\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{4}$，π），β-$\frac{α}{2}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$）
又cos（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{5}{13}$，sin（β-$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{12}{13}$，cos（β-$\frac{α}{2}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）=sin[（α-$\frac{β}{2}$）+（β-$\frac{α}{2}$）]
=sin（α-$\frac{β}{2}$）cos（β-$\frac{α}{2}$）+cos（α-$\frac{β}{2}$）sin（β-$\frac{α}{2}$）
=$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和整体思想，属中档题．