Question

设A，B，C，D是平面直角坐标系中不同的四点，若

AC

=λ

AB

（λ∈R），

AD

=μ

AB

（μ∈R）且

1

λ

+

1

μ

=2，则称C，D是关于A，B的“好点对”．已知M，N是关于A，B的“好点对”，则下面说法正确的是（　　）

• A、M可能是线段AB的中点
• B、M，N可能同时在线段BA延长线上
• C、M，N可能同时在线段AB上
• D、M，N不可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：新定义

分析：根据向量共线定理得到A，B，C，D四点共线，再利用反证法求证，问题得以解决．

解答： 解：由题意知

AC

=λ

AB

（λ∈R），

AD

=μ

AB

（μ∈R）且

1

λ

+

1

μ

=2，
故A，B，C，D四点共线，
若M是线段AB的中点，

AC

=

1

2

AB

，∴λ=

1

2

，

1

μ

=0（不可能），故A错误，
若M，N可能同时在线段BA的延长线上，
则λ＜0．μ＜0，
∴

1

λ

+

1

μ

＜0与

1

λ

+

1

μ

=2矛盾．故B错误，
若M，N可能同时在线段AB上，
则0＜λ＜1，0＜μ＜1，
∴

1

λ

+

1

μ

＞2，与

1

λ

+

1

μ

=2矛盾．故C错误
若M，N不可能同时在线段AB的延长线上，
假设M，N同时在线段AB的延长线上，
则λ＞1．μ＞1，
∴

1

λ

+

1

μ

＜2，与

1

λ

+

1

μ

=2矛盾．故假设不成立，所以M，N不可能同时在线段AB的延长线上．
故D正确．
故选：D．

点评：本题主要考查了向量共线定理和反证法，属于基础题．