Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄|a_n|，求数列{

1

bn•bn+1

}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a₁=-

1

4

，a_n+1-a_n=5a_n+1，推出数列是等比数列，求出a_n=（-

1

4

）n．
（Ⅱ）由b_n=log₄|（-

1

4

）n|=-n，得

1

bn•bn+1

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用错位相减法能求出数列{

1

bn•bn+1

}前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=5S₁+1，解得a1=-

1

4

．…（2分）
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，…（4分）
∴

an+1

an

=-

1

4

，∴数列{a_n}是首项为a₁=-

1

4

，公比为q=-

1

4

的等比数列，
∴a_n=（-

1

4

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）解：b_n=log₄|（-

1

4

）ⁿ|=-n，…（8分）
∴

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．