Question

5．三棱锥P-ABC的三条棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA，PB，PC的长分别为2，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，
则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．
∵长方体的对角线长为$\sqrt{4+5+7}$=4，
∴球直径为4，半径R=2，
因此，三棱锥P-ABC外接球的体积是$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}$π，
故答案为：$\frac{32}{3}$π．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的体积，着重考查了长方体对角线公式和球的体积计算等知识，属于基础题．