Question

如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．求证：

(1)直线AR∥平面PMC；

(2)直线MN⊥直线AB.

Answer 1

　证法1：(1)连接CM，∵ABCD为矩形，R、M分别为AB、CD的中点，∴MA綊CR，∴AMCR为平行四边形，∴CM∥AR，

又∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC.

(2)连接MR、NR，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面AC，∴PA⊥AB，AB⊥平面PAD，∵MR∥AD，NR∥PD，

∴平面PDA∥平面NRM，

∴AB⊥平面NRM，则AB⊥MN.

证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AP＝c，则B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，∵M、N、P分别为AB、PC、CD的中点，∴M(，0,0)，N(，，)，R(，b,0)，

∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC.