Question

方程

1

1-x

=2sinπx（-2≤x≤4）的所有根的和为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：设 f（x）=

1

1-x

，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．根据两个函数都关于点（1，0）成中心对称，数形结合求得两个函数的交点的横坐标的和．

解答： 解：设 f（x）=

1

1-x

，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点（1，0）成中心对称．
作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y₁＜0
而函数g（x）在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（1，

3

2

）和（

5

2

，

7

2

）上是减函数；
在（

3

2

，

5

2

）和（

7

2

，4）上是增函数．
∴函数f（x）在（1，4）上函数值为负数，且与g（x）的图象有四个交点E、F、G、H，
相应地，f（x）在（-2，1）上函数值为正数，且与g（x）的图象有四个交点A、B、C、D，
且：x_A+x_H=x_B+x_G=x_C+x_F=x_D+x_E=2，
故所求的横坐标之和为8，
故答案为：8．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程，数形结合的数学思想，属于中档题．