Question

17．7个学生排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头，
（2）甲不排头，也不排尾，
（3）甲、乙、丙三人必须在一起，
（4）甲、乙之间有且只有两人，
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻．

Answer 1

分析 （1）甲固定不动，其余6人全排；
（2）甲不排头，也不排尾；则甲在中间，先排甲，再排其他；
（3）甲、乙、丙三人必须在一起，利用捆绑法；
（4）（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有${A}_{5}^{2}$，甲、乙可以交换有${A}_{2}^{2}$，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列；
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，利用插空法．

解答 解：（1）甲固定不动，其余有${A}_{6}^{6}$=720，即共有720种；
（2）甲有中间5个位置供选择，其余任意排，共有${A}_{5}^{1}$•${A}_{6}^{6}$=3600种；
（3）先排甲乙丙三人，把这三个人看做一个整体当做一个复合元素，再加上另外4人，进行全全排列，共有${A}_{3}^{3}$•${A}_{5}^{5}$=720种；
（4）（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有${A}_{5}^{2}$，甲、乙可以交换有${A}_{2}^{2}$，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，则共有${A}_{5}^{2}$${A}_{2}^{2}$${A}_{4}^{4}$=960种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有${A}_{4}^{4}$•${A}_{5}^{3}$=1440种．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法．