Question

6．对于数列{a_n}，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，Π_n=a₁a₂a₃…a_n．在正项等比数列{a_n}中，a₅=$\frac{1}{4}$，a₆+a₇=$\frac{3}{2}$，则满足S_n＞Π_n的最大正整数n的值为（　　）

• A． 12
• B． 13
• C． 14
• D． 15

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．

解答 解：根据题意，等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，
又由a₅=$\frac{1}{4}$，a₆+a₇=$\frac{3}{2}$，
则有a₁q⁴=$\frac{1}{4}$，a₁q⁵+a₁q⁶=$\frac{3}{2}$，
解可得a₁=$\frac{1}{64}$=2^n-7，q=2，
则S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{\frac{1}{64}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{64}$，
Π_n=a₁a₂a₃…a_n．=2^-6•2^-5•2^-4•…•2^n-7=${2}^{\frac{（n-13）n}{2}}$，
若S_n＞Π_n，即$\frac{{2}^{n}-1}{64}$＞${2}^{\frac{（n-13）n}{2}}$，
化简可得：2ⁿ-1＞$2\frac{（n-13）n}{2}+6$，
只需满足n＞$\frac{（n-13）n}{2}$+6，
解可得$\frac{15-\sqrt{177}}{2}$＜n＜$\frac{13+\sqrt{177}}{2}$，
由于n为正整数，因此n最大值为13；
故选：B．

点评 本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，关键是求出等比数列的首项与公比．