Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，半焦距为c，若点P（c，b）满足$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AP}$=0，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用条件得出△ABP是等腰三角形，且AB=BP，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设AP的中点为C，则
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AP}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BP}$）•$\overrightarrow{AP}$=0，
∴$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AP}$，
∴△ABP是等腰三角形，且AB=BP，
∴2a=$\sqrt{（c-a）^{2}+{b}^{2}}$，
∴2a²=c²-ac，
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．