Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求证：面SAB⊥面SBC；
（2）求面SAD与面SDC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能够证明面SAB⊥面SBC．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SAD与面SDC所成角的余弦值．

解答： （1）证明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB 
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，
∴S（0，0，1），D（

1

2

，0，0），C（1，1，0），
∴

SD

=(

1

2

，0，-1)，

SC

=（1，1，-1），
设平面SCD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • SD = 1 2 x-z=0 n • SC =x+y-z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，1），
又面SAD的法向量

m

=（0，1，0），
cos＜

n

，

m

＞=

-1

6

=-

6

6

，
∴面SAD与面SDC所成角的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．