Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论正确的是

 

（填序号）
①存在x₀∈R，使得f（x₀）=0
②函数y=f（x）的图象是中心对称图形
③若x₀是函数y=f（x）的极小值点，则函数y=f（x）在区间（-∞，x₀）上是减函数
④若f′（x₀）=0，则x₀是函数y=f（x）的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+b．
当△=4a²-12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
x₂是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x₂）不具有单调性，故③不正确．
∵f（-

2a

3

-x）+f（x）
=（-

2a

3

-x）³+a（-

2a

3

-x）²+b（-

2a

3

-x）+c+x³+ax²+bx+c
=

4a3

9

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=（-

a

3

）³+a（-

a

3

）²+b（-

a

3

）+c=

2a3

9

-

ab

3

+c，
∵f(-

2a

3

-x)+f(x)=2f(-

a

3

)，
∴点P（-

a

3

，f（-

a

3

））为对称中心，故②正确；
∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，
函数f（x）必然穿过x轴，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故①正确．
当△≤0时，f′(x)=3(x+

a

3

)≥0，故f（x）在R上单调递增，
此时不存在极值点，故③不正确；
∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，
函数f（x）必然穿过x轴，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故①正确．
∵f′（x₀）=0是x₀为函数y=f（x）的极值点的必要不充分条件，
∴④不正确．
故答案为：①②．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．