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已知函数f(x)=lnx+a(x2-x)
(1)若a=-1,求证f(x)有且仅有一个零点;
(2)若对于x∈[1,2],函数f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于
π
4
,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
(1)证明:f(x)=lnx-x2+x(x>0),f′(x)=
1
x
-2x+1=
-(x-1)(2x+1)
x

令f'(x)=0,得x=1,
令f'(x)>0,∵x>0,∴0<x<1;令f'(x)<0,
∵x>0,∴x>1,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)最大值=f(1)=0,
∴f(x)有且仅有一个零点,该零点即为1.---------(4分)
(2)f′(x)=
2ax2-ax+1
x
,由已知,0≤f'(x)≤1在x∈[1,2]上恒成立.---------(6分)
由f'(x)≤1在x∈[1,2]上恒成立,可得a≤(
x-1
2x2-x
)min=0

由f'(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,可得a≥(
-1
2x2-x
)max=-
1
6

-
1
6
≤a≤0
-------------------(10分)
(3)f(x)存在单调递减区间,等价于f′(x)=
2ax2-ax+1
x
<0
在(0,+∞)上有解,即2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上有解
记g(x)=2ax2-ax+1,x∈(0,+∞)
当a=0时,g(x)=1,不满足条件;
当a<0时,g(x)为开口向下的二次函数,2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上恒有解;
当a>0时,g(x)为开口向上的二次函数,对称轴为x=
1
4
,2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上有解,只需g(x)min>0,即g(
1
4
)>0
,解得a>8
综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪(8,+∞)
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