Question

11．已知函数f（x）=|lnx|，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}0，0＜x≤1\\|{x^2}-4|-2，x＞1\end{array}\right.$若方程|f（x）+g（x）|=a有4个实根，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． （0，2-ln2）
• C． [1，2-ln2]
• D． [1，2-ln2）

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）+g（x），求出h（x）的解析式，判断h（x）的单调性，作出|h（x）|的图象，根据图象得出a的范围．

解答 解：f（x）=|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{2-{x}^{2}，1＜x≤2}\\{{x}^{2}-6，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤1}\\{lnx-{x}^{2}+2，1＜x≤2}\\{lnx+{x}^{2}-6，x＞2}\end{array}\right.$，
令h（x）=f（x）+g（x），
当0＜x≤1时，h（x）是减函数，
当1＜x≤2时，h′（x）=$\frac{1}{x}-2x$=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$＜0，∴h（x）在（1，2]上是减函数，
当x＞2时，h′（x）=$\frac{1}{x}+2x$＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增．
作出h（x）的函数图象如图所示：

将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到y=|h（x）|的函数图象，如图：

由图象可知，当1≤a＜2-ln2时，|h（x）|=a有4个解．
故选D．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．