Question

19．已知函数$f（x）=\frac{a-1}{x}-2a，g（x）=-ax-1$，a＞0．
（1）设h（x）=f（x）-g（x），若函数h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≥g（x）+lnx在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出h′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+1-a}{{x}^{2}}$，a＞0，由函数h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上是减函数，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．
（2）令μ（x）=h（x）-lnx=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1-lnx，x∈[1，+∞），则μ（1）=0，μ′（x）=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$，根据0＜a＜$\frac{1}{2}$，a$≥\frac{1}{2}$两种情况分类讨论，利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{a-1}{x}-2a，g（x）=-ax-1$，a＞0．
∴h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{a-1}{x}-2a+ax+1$，a＞0，
∴h′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+1-a}{{x}^{2}}$，a＞0，
∵函数h（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{h}^{'}（0）＜0}\\{{h}^{'}（\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{4}{3}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{4}{3}$，+∞）．
（2）令μ（x）=h（x）-lnx=ax+$\frac{a-1}{x}$-2a+1-lnx，x∈[1，+∞），
则μ（1）=0，μ′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x-（a-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$，
（i）当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}$＞1，
若1＜x＜$\frac{1-a}{a}$，则μ′（x）＜0，μ（x）是减函数，
∴μ（x）＜g（1）=0，上式不恒成立；
（ii）当a$≥\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}$≤1，
若x＞1，则μ′（x）＞0，μ（x）是增函数，
∴μ（x）＞μ（1）=0．
综上所述，所求a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、构造法、函数单调性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．