Question

如图，多边形ABCDE中，∠ABC＝90°，AD∥BC，△ADE是正三角形，AD＝2，AB＝BC＝1，沿直线AD将△ADE折起至△ADP的位置，连接PB，BC，构成四棱锥P－ABCD，使得PB＝.点O为线段AD的中点，连接PO.

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）求二面角B－PC－D的大小的余弦值.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）见解析；（2）利用平面的法向量求二面角的余弦值，注意：二面角的平面角是钝角.

试题解析（1）证明：∵，AD∥BC，

（注：证到、各给3分.）

（2）【解析】
由（Ⅰ）知：OP、OC、0D两两垂直且共点，分别以OC、OD、OP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 1分

则，，， 1分

可求平面BPC的法向量为： 1分

平面DPC的法向量为： 1分

1分

二面角的大小的余弦值为： 1分

（注：考生用其它方法求得答案，不扣分.解答步骤参考本答案给分.）

考点：空间几何体，空间线面关系，空间向量