Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点在直线y=x-2上，现将抛物线沿向量

a

进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线y=x-2移到点（2a，4a+2）处，则平移后所得的抛物线被y轴截得的弦长?=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出a=-2，再确定平移前后坐标之间的关系，求出平移后抛物线的方程，即可得出结论．

解答： 解：对y=x-2，令y=0 得 x=2
即抛物线的焦点为（2，0），所以抛物线方程为y²=8x．
又因为点（2a，4a+2）在直线y=x-2上
解得：a=-2
所以平移向量为

a

=（-6，-6）
所以设平移后的点为（x，y），抛物线上的点为（x₀，y₀）
则x-x₀=-6，y-y₀=-6
所以x₀=x+6，y₀=y+6
又y₀²=8x₀，
所以（y+6）²=8（x+6），
令x=0，可得y=-6±4

3

，
∴平移后所得的抛物线被y轴截得的弦长?=8

3

．
故答案为：8

3

．

点评：本题考查平移后所得的抛物线被y轴截得的弦长，考查抛物线的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．