Question

已知函数，其中a，b∈R

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)当a＞0，且a为常数时，若函数h(x)＝x[g(x)＋1]对任意的x1＞x2≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围；

(3)当时，若对x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.

 

Answer 1

(1)；(2)时，，时，；(3)1

【解析】

试题分析：(1)利用导数判断出函数的单调性，即可求出的最小值；(2)解决本题的关键是由“对任意的x1＞x2≥4，总有成立”得出“在上单调递增”，从而再次转化为导函数大于0的问题求解；(3)通过构造函数，转化为对恒成立，于是转化为求在上的最大值问题求解.解题过程中要注意对参数的合理分类讨论.

试题解析：(1)∵，令，得

∴在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增

∴在处取得最小值

即； 4分

(2)由题意，得在上单调递增

∴在上恒成立

∴在上恒成立 5分

构造函数

则

∴F(x)在上单调递减，在上单调递增

(i)当，即时，F(x)在上单调递减，在上单调递增

∴

∴，从而 7分

(ii)当，即时，F(x)在(4，＋∞)上单调递增

，从而 8分

综上，当时，，时，； 9分

(3)当时，构造函数

由题意，有对恒成立

∵

(i)当时，

∴在上单调递增

∴在上成立，与题意矛盾. 11分

(ii)当时，令

则，由于

①当时，，在上单调递减

∴，即在上成立

∴在上单调递减

∴在上成立，符合题意 12分

②当时，

∴在上单调递增，在上单调递减

∵

∴在成立，即在成立

∴在上单调递增

∴在上成立，与题意矛盾 13分

综上，a的最小值为1 14分

考点：导数，函数的单调性，范围与最值，分类与整合.