Question

选修4—1：几何证明选讲（10分）：
如图：如图E、F、G、H为凸四边形ABCD中AC、BD、AD、DC的中点，∠ABC=∠ADC。

（1）求证：∠ADC=∠GEH；       （3分）
（2）求证：E、F、G、H四点共圆； （4分）
（3）求证：∠AEF=∠ACB－∠ACD  （3分）

Answer 1

证明略

证明：
（1）因为E、G、H为凸四边形ABCD中AC、AD、DC的中点，
所以EG//CD ，EH//AD 四边形EGDH是平行四边形
∠ADC=∠GEH；                                            --------------3分
（2）E、F、H为凸四边形ABCD中AC、BD、CD的中点，
FG//AB∠GFD=∠ABD 同理可证∠DBC=∠DFH
所以∠GFH=∠ABC  （FG//AB,FH//BC利用等角定理亦可得）         ------5分
又因为∠ABC=∠ADC（条件），∠ADC=∠GEH（已证）
所以 ∠GFH=∠GEH，所以E、F、G、H四点共圆；                   ---------7分
（3）BC//FH，GH//AC∠ABC=∠FHG(等角定理)
E、F、G、H四点共圆∠FHG=∠FEG   所以∠ABC=∠FEG
EG//CD∠AEG=∠ACD  
∠AEF=∠FEG－∠AEG=∠ACB－∠ACD                         --------10分