Question

设函数f（x）=

x2+2x+sinx+1

x2+1

的最大值为M，最小值为m，则M+m=

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：可先将原函数变形为f（x）=1+

2x+sinx

x2+1

，仔细分析可以看出，t=

2x+sinx

x2+1

是一个奇函数，则该函数的最大（小）值加1就是原函数的最大（小）值，而奇函数的最大值与最小值互为相反数，所以该题即可获解．

解答： 解：函数f（x）=

x2+2x+sinx+1

x2+1

=1+

2x+sinx

x2+1

，
令t（x）=

2x+sinx

x2+1

，∵t（-x）=

-2x+sin(-x)

(-x)2+1

=-

2x+sinx

x2+1

=-f（x）
∴t（x）是奇函数，设其最大值为M，则由奇函数的图象可知，其最小值为-M，
∴f（x）_min=1-M，f（x）_max=1+M，
∴f（x）_min+f（x）_max=2．
故答案为2

点评：此题没有按常规考查函数的最值的求法，即利用单调性，而是在将原函数变形的基础上，通过观察分析将原函数的最值转化为一个奇函数的最大值、最小值的问题，由奇函数的图象可得，其最大值、最小值互为相反数，所以原函数的最值之和为2．此题有一定难度．