Question

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

 

Answer 1

（1）

（2）直线与圆相切．

【解析】（1）由题意可得，，   ∴ .∴， 所以椭圆的方程为．

（2）解法一：曲线是以为圆心，半径为2的圆.

设，点的坐标为，

∵三点共线，

∴，

而，，则，

∴，

∴点的坐标为，点的坐标为，∴直线的斜率为，

而，∴，

∴，

∴直线的方程为，化简得，

∴圆心到直线的距离，

所以直线与曲线相切．    解法二：同解法一得，又，故，即，

所以直线与圆相切．