Question

19．如图，函数$f（x）=Asin{（ωx+φ）_{\;}}（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（2，0），∠PQR=$\frac{π}{4}$，M为QR的中点，PM=2$\sqrt{5}$，则A的值为-$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意设出Q（2a，0）a＞0，求出R坐标以及M坐标，利用距离公式求出Q坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．

解答 解：函数$f（x）=Asin{（ωx+φ）_{\;}}（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$
与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（2，0），
∠PQR=$\frac{π}{4}$，M为QR的中点，PM=2$\sqrt{5}$，
设Q（2a，0）a＞0，则R（0，-2a），∴M（a，-a），∵PM=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{（a-2）}^{2}{+（-a）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得a=4，T=12，ω=$\frac{π}{6}$．
∵函数经过Q，R，∴$\left\{\begin{array}{l}{0=Asin（2×\frac{π}{6}+φ）}\\{-8=Asin（0+φ）}\end{array}\right.$．
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$∴φ=-$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于中档题．