Question

函数y=sinxcos²x在区间[0，

π

2

]上的最大值是（　　）

• A、0
• B、

  4

  27

• C、

  2 3

  9

• D、1

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：令sinx=t可得t∈[0，1]，y=t-t³，利用导数可得函数y在[0，

3

3

]上是增函数；在（

3

3

，1]上是减函数．可得当t=

3

3

时，函数y=t-t³ 取得最大值，计算求得结果．

解答： 解：函数y=sinxcos²x=sinx（1-sin²x）=sinx-sin³x，令sinx=t，
由x∈区间[0，

π

2

]，可得t∈[0，1]，y=t-t³．
∵y′=1-3t²，令y′=0，求得t=

3

3

，在[0，

3

3

]上，y′＞0，函数y是增函数；在（

3

3

，1]上，y′＜0，y是减函数．
故当t=

3

3

时，函数y=t-t³ 取得最大值为

2 3

9

，
故选：C．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的最值，属于基础题．