Question

8．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，点E是A₁C₁的中点．求证：
（1）BE⊥AC；
（2）BE∥平面ACD₁．

Answer 1

分析 （1）推导出BA₁=BC₁，点E是A₁C₁的中点，从而BE⊥A₁C₁，由此能证明BE⊥AC．
（2）连结B₁D₁，交A₁C₁于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD₁，推导出四边形BED₁O是平行四边形，由此能证明BE∥平面ACD₁．

解答 证明：（1）∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴BA₁=BC₁，
∵点E是A₁C₁的中点，
∴BE⊥A₁C₁，
∵AC∥A₁C₁，∴BE⊥AC．
（2）连结B₁D₁，交A₁C₁于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD₁，
∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴D₁E$\underset{∥}{=}$BO，∴四边形BED₁O是平行四边形，
∴BE∥OD₁，
∵OD₁?平面ACD₁，BE?平面ACD₁，

∴BE∥平面ACD₁．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．