Question

10．已知函数$f（x）=（{\sqrt{3}sinωx-cosωx}）•cosωx+\frac{1}{2}$（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为$\frac{π}{4}$．
（I）求y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b-a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 ﹙Ⅰ﹚由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由题意可得周期T=π，可得ω=1，进而可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间；
（Ⅱ）由由正弦定理以及角的和差公式，求出$cosC=\frac{1}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$，根据正弦函数的性质，求出$A=\frac{π}{3}$，即△ABC为等边三角形．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}（2{cos^2}ωx-1）$，
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，
∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为$\frac{π}{4}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∵$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，
∴函数f（x）单调增区间为$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（Ⅱ）∵（2b-a）cosC=c•cosA，由正弦定理，
得（2sinB-sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
∵sin（A+C）=sin（π-B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，
∴sinB（2cosC-1）=0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$，
∴$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴$0＜2B＜\frac{4π}{3}$．
∴$-\frac{π}{6}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y_max=1，
此时$2B-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$B=\frac{π}{3}$，
∴$A=\frac{π}{3}$，
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查三角函数恒等变换及三角函数的单调性和对称性，以及正弦定理和三角形的判断，属于中档题．