Question

8．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=1，F为线段DE中点．
（1）求证：CD⊥平面ADE；
（2）求V三棱锥E-BCF．

Answer 1

分析 （1）AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，又CD⊥AD，即可证明CD⊥平面ADE．
（2）由于AB∥CD，可得AB∥平面CDE，因此点A与B到平面CDE的距离相等，可得AE为三棱锥B-ECF的高．利用V_E-BCF=V_B-CEF=$\frac{1}{3}AE•{S}_{△CEF}$即可得出．

解答 （1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
（2）解：∵AB∥CD，CD?平面CDE，AB?平面CDE，
∴AB∥平面CDE，∴点A与B到平面CDE的距离相等，
又AE⊥平面CDE，∴AE为三棱锥B-ECF的高．
在RT△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_E-BCF=V_B-CEF=$\frac{1}{3}AE•{S}_{△CEF}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．