Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{b}{2}$x²+ax+c（a＞0，b＞0）则函数g（x）=alnx+$\frac{f′（x）}{a}$在点（b，g（b））处切线的斜率最小值是2．

Answer 1

分析 根据已知条件得到g（x）=alnx+$\frac{f′（x）}{a}$的导函数，根据限制性条件a＞0，b＞0和基本不等式进行解答．

解答 解：因为g（x）=alnx+$\frac{f′（x）}{a}$，
所以g′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{2x-b}{a}$．
又因为a＞0，b＞0，
所以g′（b）=$\frac{a}{b}$+$\frac{2b-b}{a}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{a}{b}$≥2，
所以斜率的最小值是2．
故答案是：2．

点评 本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．