Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（其中k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当k∈[0，+∞）时，判断函数f（x）在R上的零点个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2），令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表研究函数的单调性极值即可．
（2）f′（x）=x（e^x-2k），当x＜1时，f（x）＜0，因此函数f（x）在（-∞，1）上无零点．
下面判定函数f（x）在[1，+∞）上零点的个数．分类讨论：k∈[0，

e

2

]，k∈(

e

2

，+∞)时，通过当时研究函数的单调性极值即可得出．

解答： 解：（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，
f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2），
令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（ln2，+∞）；单调递减区间为（0，ln2）．
极大值为f（0）=-1，极小值为f（ln2）=-ln²2+2（ln2-1）．
（2）f′（x）=x（e^x-2k），当x＜1时，f（x）＜0，因此函数f（x）在（-∞，1）上无零点．
下面判定函数f（x）在[1，+∞）上零点的个数．
①若k∈[0，

e

2

]，则当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（1）=-k≤0，f（2）=e²-4k＞0，
∴函数f（x）在区间[1，2）内由一个零点，且在[1，+∞）上也只有这个零点．
②当k∈(

e

2

，+∞)时，函数f（x）在[1，ln2k）上单调递减，在（ln2k，+∞）上单调递增．
f（1）=-k＜0，f（k+1）=ke^k+1-k（k+1）²=k（e^k+1-（k+1）²），
令g（t）=e^t-t²，t=k+1＞

e

2

+1．
g′（t）=e^t-2t，g^″（t）=e^t-2，
∵t＞2，∴g^″（t）＞0，∴g′（t）在[2，+∞）上单调递增，∴g′（t）≥g′（2）=e²-4＞0，
∴g（t）在[2，+∞）上单调递增，g（t）≥g（2）=e²-4＞0，
∴f（k+1）＞0．
∴函数f（x）在[1，+∞）上只有一个零点．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、讨论函数零点的个数，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．