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(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,平面侧面。
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θφ的大小关系,并予以证明。
(Ⅰ)证明见解析。
(Ⅱ),证明见解析。
(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作ADA1BD,则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC,所以ADBC
因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1BC
AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1
AB侧面A1ABB1,故ABBC
(Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知是直线AC与平面A1BC所成的角,
是二面角A1BCA的平面角,即
于是在中,中,
,得,又,所以
解法2:由(1)知,以点为坐标原点,以所在的直线分轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,



于是
设平面的一个法向量为,则

可取,于是的夹角为锐角,则互为余角。
所以
所以
于是由,得
,又所以
第(1)问证明线线垂直,一般先证线面垂直,再由线面垂直得线线垂直;第(2)问若用传统方法一般来说要先作垂直,进而得直角三角形。若用向量方法,关键在求法向量。
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