Question

10．若AB=2，AC=$\sqrt{2}$BC，则S_△ABC的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设BC=a，则AC=$\sqrt{2}$a，利用余弦定理可求得cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，再利用三角形的面积公式可求得S_△ABC=asinB，继而可求S_△ABC²=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，从而可得△ABC面积的最大值．

解答 解：依题意，设BC=a，则AC=$\sqrt{2}$a，又AB=2，
由余弦定理得：2a²=a²+AB²-2a•ABcosB，
即a²+4acosB-4=0，
∴cosB=$\frac{1}{a}-\frac{a}{4}$，
∴cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，
∴sin²B=1-cos²B=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB=$\frac{1}{2}$×2asinB=asinB，
∴S_△ABC²=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，
当a²=12，即a=2$\sqrt{3}$时，2、2$\sqrt{3}$、2$\sqrt{6}$组成三角形，
∴S_△ABC²=8，∴S_△ABCmax=2$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S_△ABC²=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8是关键，也是难点，属于难题．