Question

已知直角梯形PBCD，A是PD边上的中点（如图甲），∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，（如图乙）
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）利用线面垂直的判定定理即可；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACD与面EAC的法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．

解答： 证明：BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在图乙中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，且SB∩AB=B，
所以BC⊥平面SAB，…（3分）
又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，且BC∩AB=B，
所以SA⊥平面ABCD．…（6分）
（2）解：以A为原点建立空间直角坐标系，如图乙，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
图乙
S（0，0，2），E（0，

2

3

，

4

3

），…（7分）
易知平面ACD的法向量为

AS

=（0，0，2），
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），

AC

（2，2，0），

AE

=（0，

2

3

，

4

3

），…（9分）
由

n • AC =0 n • AE =0

 所以

x+y=0 y+2z=0

 可取

x=2 y=-2 z=1

所以

n

=（2，-2，1），…（11分）
所以cos＜

n

，

AS

＞=

n • AS

| n| | AS|

=

2

2×3

=

1

3

，
所以二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定及二面角的平面角的计算．