Question

已知二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠-

1

a

}，且a＞b，则

a2+b2

a-b

的最小值是（　　）

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、3

  2

• D、3

  3

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：通过关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠-

1

a

}，求出a，b的关系，代入

a2+b2

a-b

，利用基本不等式确定其最小值．

解答： 解：关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠-

1

a

}，
则二次函数y=ax²+2x+b，图象开口向上，a＞0，△≤0，
当x=-

1

a

为不等式对应的方程ax²+2x+b=0的根，代入可得b=

1

a

，ab=1，

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2

a-b

═（a-b）+

2

a-b

≥2

2

（当且仅当a=b+

2

取等号）
故选：A．

点评：本题考查三个二次关系，涉及到二次不等式，二次函数和二次方程的相关知识，最后使用基本不等式求解，属于不等式的综合题目．