Question

3．已知条件p：k²+3k-4≤0；条件q：函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+kx+lnx在定义域内递增，若p∧q为假，p∨q为真，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的k的范围，从而判断出p，q一真一假时的k的范围即可．

解答 解：条件p：k²+3k-4≤0，
解得：-4≤k≤1；
条件q：函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+kx+lnx在定义域内递增，
函数f（x）的定义域是（0，+∞），
只需f′（x）=x+$\frac{1}{x}$+k≥0在（0，+∞）恒成立即可，
∴k≥[-（x+$\frac{1}{x}$）]_max=-2，
故q为真时，k≥-2，
若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假，
p真q假时：-4≤k＜-2，
p假q真时：k＞1，
综上，k∈（-4，-2）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．