Question

13．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项锥误的是（　　）

• A． HG=2OG
• B． $\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$
• C． 设BC边中点为D，则有AH=3OD
• D． S_△ABG=S_△BCG=S_△ACG

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，利用欧拉线定理得出选项A正确；
根据三角形的重心性质得出选项B正确；
根据△AHG∽△DOG，判断选项C错误；
求出S_△BGC=S_△AGC=S_△AGB=$\frac{1}{3}$S_△ABC，判断选项D正确．

解答 解：△ABC中，O、H、G分别是外心、垂心和重心，
画出图形，如图所示；
对于A，根据欧拉线定理得HG=2OG，选项A正确；
对于B，根据三角形的重心性质得$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，选项B正确；
对于C，∵AH∥OD，∴△AHG∽△DOG，∴$\frac{AH}{OD}$=$\frac{AG}{DG}$=2，∴AH=2OD，选项C错误；
对于D，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则$\frac{GE}{AN}$=$\frac{DG}{DA}$=$\frac{1}{3}$，
∴△BGC的面积为S_△BGC=$\frac{1}{2}$×BC×GE=$\frac{1}{2}$×BC×$\frac{1}{3}$×AN=$\frac{1}{3}$S_△ABC；
同理，S_△AGC=S_△AGB=$\frac{1}{3}$S_△ABC，选项D正确．
故选：C．

点评 本题考查了三角形中的重心，外心与垂心的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是综合性题目