Question

18．设等比数列{a_n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S_n，若对?n∈N^*，有$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，则q的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． （$\frac{1}{2}$，2）
• C． [1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）

Answer 1

分析 当q≠1时，由$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5得qⁿ＜4，对q分类讨论求得q的范围，当q=1时，$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5恒成立，由此得答案．

解答 解：当q≠1时，∵$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}＜5×\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，则qⁿ＜4．
若q＞1，n＜log_q4对?n∈N^*恒成立，
∴log_q4＞n_max不成立，舍去；
若0＜q＜1，n＞log_q4对?n∈N^*恒成立，
∴log_q4＜n_min，则log_q4＜1，即0＜q＜4，又0＜q＜1．
∴0＜q＜1．
当q=1时，S_2n=2S_n＜5S_n成立．
综上可得：0＜q≤1．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．