Question

已知c＞0且c≠1，设命题p：函数f（x）=log_cx为减函数，命题q：函数g（x）=x+

1

x

＞

1

c

 （x∈[

1

2

，2]）恒成立，若p且q为假命题，p或q为真命题，则实数c的取值范围为（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、（1，+∞）
• C、（0，

  1

  2

  ]∪（1，+∞）
• D、（0，

  1

  2

  ）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据对数函数单调性的判定方法，我们可以判断出命题p满足时，参数a的取值范围，进而根据基本不等式求出出命题q满足时，参数a的取值范围，进而根据p且q为假命题，p或q为真命题得到p真q假或p假q真

解答： 解：若命题p是真命题，则
0＜c＜1
若命题q是真命题，则
∵x∈[

1

2

，2]）
∴函数g（x）=x+

1

x

≥2当且仅当x=1时取等号
∴函数g（x）=x+

1

x

的最小值为2
∵函数g（x）=x+

1

x

＞

1

c

（x∈[

1

2

，2]）恒成立
∴2＞

1

c

∴c＞

1

2

∵p且q为假命题，p或q为真命题
∴p真q假或p假q真
∴

0＜c＜1 0＜c≤ 1 2

或

c＞1 c＞ 1 2

∴0＜c≤

1

2

或c＞1
故选C

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数恒成立问题，其中根据已知求出命题p和q满足时，参数a的取值范围，是解答本题的关键