Question

如图所示，O是△ABC的外接圆的圆心，M是BC边的中点，AB=4，AC=2，求

AM

•

AO

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：M是BC边的中点，可得

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)．利用O是△ABC的外接圆的圆心，可得

AO

•

AB

=|

AB

||

AO

|cos∠BAO=

1

2

|

AB

|2=

1

2

×42=8．同理可得

AO

•

AC

=

1

2

|

AC

|2=2．即可得出．

解答： 解：∵M是BC边的中点，
∴

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)．
∵O是△ABC的外接圆的圆心，
∴

AO

•

AB

=|

AB

||

AO

|cos∠BAO=

1

2

|

AB

|2=

1

2

×42=8．
同理可得

AO

•

AC

=

1

2

|

AC

|2=2．
∴

AM

•

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)•

AO

=

1

2

AB

•

AO

+

1

2

AC

•

AO

=8+2
=10．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．