Question

【题目】如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】证明： （Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以 ，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且 ，从而OA2+SO2=SA2 ．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．
设B（1，0，0），则C（﹣1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中点 ， ．
∴ ．
故 等于二面角A﹣SC﹣B的平面角．
，
所以二面角A﹣SC﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）欲证SO⊥平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，满足定理条件；（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．