Question

20．平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是$-\frac{3}{4}$．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=x-1与曲线C相交于P₁，P₂两点，Q是x轴上一点，若△P₁P₂Q的面积为$6\sqrt{2}$，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），利用直线的斜率之积是$-\frac{3}{4}$，化简整理得，点M的轨迹C的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$消去y，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），通过韦达定理，设Q（m，0），Q到直线l的距离$d=\frac{|m-1|}{{\sqrt{2}}}$与弦长公式，通过数据线的面积，列出方程求解即可．

解答 解：（1）设M（x，y），则$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$…（2分）
化简整理得，点M的轨迹C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠±2）…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$得，7x²-8x-8=0…（5分）
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{8}{7}$…（6分），
$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$…（7分）
$|{P_1}{P_2}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{24}{7}$…（8分）
设Q（m，0），Q到直线l的距离$d=\frac{|m-1|}{{\sqrt{2}}}$…（9分）
依题意，$\frac{1}{2}×|{P_1}{P_2}|×d=6\sqrt{2}$…（10分）
代入化简得，|m-1|=7…（11分）
解得m=8或m=-6，所求点为Q（8，0）或Q（-6，0）…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．