Question

在直角△ABC中，A=

π

6

，B=

π

3

，点P△ABC内，∠APC=

2π

3

，∠BPC=

π

2

，设∠PCA=α，则tanα=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：可设AB=2，BC=1，AC=

3

，在直角△BPC中，PC=sinα，在△APC中，求出∠PAC=

π

3

-α，在△APC中，运用正弦定理化简整理，即可得到所求的值．

解答： 解：可设AB=2，BC=1，AC=

3

，
在直角△BPC中，PC=cos（

π

2

-α）=sinα，
在△APC中，∠APC=

2π

3

，∠PCA=α，则∠PAC=

π

3

-α，
再由正弦定理，得，

sinα

sin( π 3 -α)

=

3

sin 2π 3

=2，
sinα=2（

3

2

cosα-

1

2

sinα），
sinα=

3

2

cosα，
则tanα=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查正弦定理及运用，考查三角函数的化简与求值，考查两角差的正弦公式和同角基本关系式及诱导公式，属于中档题．