Question

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁＝1，且a_4,3a₃，a₅成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)数列{a_n＋1－λa_n}的前n项和为S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求实数λ的值．

Answer 1

（1）a_n＝2^n－1(n∈N^*)．（2）λ＝1

(1)设数列{a_n}的公比为q，由条件可知q^3,3q²，q⁴成等差数列，∴6q²＝q³＋q⁴，∴6＝q＋q²，
解得q＝－3或q＝2，∵q＞0，∴q＝2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝2^n－1(n∈N^*)．
(2)记b_n＝a_n＋1－λa_n，则b_n＝2ⁿ－λ·2^n－1＝(2－λ)2^n－1，
若λ＝2，则b_n＝0，S_n＝0，不符合条件；
若λ≠2，则＝2，数列{b_n}为等比数列，首项为2－λ，公比为2，
此时S_n＝ (1－2ⁿ)＝(2－λ)(2ⁿ－1)，
∵S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，∴λ＝1.