Question

4．已知曲线C：y=lnx在x=e处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的面积．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=e处的导数，即在x=e处的切线的斜率，再求出切点坐标，代入直线方程点斜式得答案案；
（2）直接利用定积分求直线l与曲线C以及x轴所围成的面积．

解答 解：（1）由y=lnx，得$y′=\frac{1}{x}$，
∴$y′{|}_{x=e}=\frac{1}{e}$，
又当x=e时，y=1，
∴曲线C：y=lnx在x=e处的切线方程为y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即x-ey=0；
（2）如图，直线l与曲线C以及x轴所围成的面积：
S=${∫}_{0}^{1}\frac{x}{e}dx{+∫}_{1}^{e}（\frac{x}{e}-lnx）dx$=$\frac{{x}^{2}}{2e}{|}_{0}^{1}+$$（\frac{{x}^{2}}{2e}-xlnx+x+C）{|}_{1}^{e}$
=$\frac{1}{2e}+\frac{e}{2}-e+e+C-\frac{1}{2e}-1-C=\frac{e}{2}-1$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．