Question

四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别为AD、PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAB；

(2)求证：EF⊥平面PBD；

(3)求二面角D－PA－B的余弦值．

Answer 1

　(1)证明：△ABD中，AD＝2AB，∠BAD＝60°，

由余弦定理得，

BD²＝AB²＋AD²－2AB×AD×cos60°＝AD²－AB²，

∴BD⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，BD⊥AB，∴DB⊥平面PAB，

以B为原点，直线BA、BD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图，令AB＝2，则A(2,0,0)，D(0,2，0)，P(1,0，)，C(－2,2，0)，

∴＝(－3,0，)＝(－，0,1)，

又平面PAB的法向量n₂＝(0,1,0)，

∴·n₂＝0，∵EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.

(2)证明：＝(0,2，0)，＝(1,0，)，

∵·＝0，·＝0，∴EF⊥BD，EF⊥BP，∴EF⊥平面PBD.

(3)解：设平面PAD的法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，＝(－1,0，)，＝(－2,2，0)，

则

令x＝，所以n₁＝(，1,1)，

平面PAB的法向量n₂＝(0,1,0)，

∴cos〈n₁，n₂〉＝，

∴二面角D－PA－B的余弦值为.