Question

【题目】设函数, .

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，讨论函数与的图象的交点个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，无减区间，当时，函数的单调增区间是，减区间是；（2）两函数图象总有一个交点.

【解析】试题分析：（1）在定义域的前提下对函数求导,对分类: , .可函数的单调区间；（2）设,本题可转化为求的零点个数问题,对分类讨论即可.

试题解析：（1）函数的定义域为， ，

当时， ，所以函数的单调增区间是，无减区间；

当时， ；当时， ，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增.

综上，当时，函数的单调增区间是，无减区间；

当时，函数的单调增区间是，减区间是.

（2）解：令， ，问题等价于求函数的零点个数.

当时， ， ，有唯一零点；

当时， ；

当时， ，函数为减函数，注意到， ，所以有唯一零点；

当时， 或时， ， 时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到， ，所以有唯一零点；

当时， 或时， 时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，所以，而，所以有唯一零点.

综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.