Question

12．已知△ABC中，AC=2，A=120°，cosB=$\sqrt{3}$sinC．
（Ⅰ）求边AB的长；
（Ⅱ）设D是BC边上一点，且△ACD的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求∠ADC的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和的正弦公式和正弦定理即可求出AB．
（Ⅱ）根据正弦定理求出BC=2$\sqrt{3}$，再根据三角形的面积公式求出CD=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，再分别根据余弦定理和正弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵AC=2，A=120°，cosB=$\sqrt{3}$sinC．
∴cos（60°-C）=$\sqrt{3}$sinC，可得：$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=$\sqrt{3}$sinC，
∴sin（C-30°）=0，
∴C=30°，B=180°-A-C=30°，
又∵$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，
∴AB=$\frac{AC•sinC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=2．
（Ⅱ）∵AB=AC=2，A=120°，
∴B=C=30°，
∴$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，
∴BC=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△ACD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴CD=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
由余弦定理可得AD²=AC²+CD²-2AD•CDcosC4+$\frac{27}{4}$-2×2×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sinC}$，
∴sin∠ADC=$\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题