Question

8．已知点A（-a，0），B（a，0），若圆 （x-3）²+（y-4）²=1上存在点P．使得∠APB=90°，则正数a的取值范围为（　　）

• A． [4，6]
• B． [5，6]
• C． [4，5]
• D． [3，6]

Answer 1

分析 根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设P（m，n）在圆C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n），利用∠APB=90°，求出a²，根据|OP|表示的几何意义，得出a的取值范围．

解答 解：∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=1，
∴圆心C（3，4），半径r=1；
设点P（m，n）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n）；
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，
∴（m+a）（m-a）+n²=0；
即a²=m²+n²；
∴|OP|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴a的取值范围是[4，6]．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．