Question

设函数f（x）=x|x-a|，若对?x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，0）
• C、（-∞，3]
• D、（0，3]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由条件可得 函数f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函数，对a讨论，当a≤3时，当a＞3时，求得单调区间，即可得到a≤3．

解答： 解：∵对于任意x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴函数f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函数．
由函数f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a ax-x2，x＜a

，
当a≤3时，f（x）=x²-ax（x≥3）在（

a

2

，+∞）递增，则在[3，+∞）递增；
当a＞3时，f（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（-∞，a），即有f（x）在[3，+∞）先减后增．
综上可得，a≤3，
故实数a的取值范围是（-∞，3]．
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的应用，掌握分类讨论的思想方法和两区间的包含关系是解题的关键，属于中档题．