Question

已知函数f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R则f（x）在闭区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值分别为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），又x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，根据正弦函数的性质即可得解．

解答： 解：∵f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

=cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sinxcosx+

3

2

cos²x-

3

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

×

1+cos2x

2

+

3

4

=

1

2

sin（2x-

π

3

），
又∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴当2x-

π

3

=-

π

2

，即x=-

π

12

时，f（x）_min=-

1

2

，
当2x-

π

3

=

π

6

，即x=

π

4

时，f（x）_min=

1

4

，
故答案为：

1

4

、-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．